Übung 11

Methoden zum Vergleich von Gruppen 1

Authors

Affiliation

Mirjam Senn

Fakultät für Verhaltenswissenschaften und Psychologie, Universität Luzern

Gerda Wyssen

Fakultät für Verhaltenswissenschaften und Psychologie, Universität Luzern

Aufgaben

Hinweise:

• Die Formelsammlung zu dieser Übung finden Sie auf OLAT.
• Die Tabelle für die Standardnormalverteilung finden Sie hier.
• Die Tabelle für die t-Verteilung finden Sie hier.

Aufgabe 11.1

In welche Verteilung geht die t-Verteilung mit wachsender Zahl von Freiheitsgraden über?

Lösung Aufgabe 11.1

In eine Normalverteilung

Aufgabe 11.2

Bei einem t-Test für unabhängige Stichproben besteht eine wichtige Voraussetzung darin, dass die Varianzen homogen (also gleich) sind (sogenannte Homoskedastizitätsannahme). Dies kann beispielweise mit dem Varianzhomogenitätstest von Levene (1960) überprüft werden. Auf diesen Test gehen wir in diesem Semester nicht genauer ein.

Wie sieht es nun bei einem t-Test für abhängige Stichproben aus? Weshalb wird hier keine Varianzhomogenität vorausgesetzt? Schauen Sie sich die Formeln zu Berechnung der Prüfgrösse bei einem t-Test für abhängige Stichproben an und zeigen Sie, weshalb die Homogenität der Varianzen hier nicht nötig ist.

Lösung Aufgabe 11.2

Wenn man die Formel zur Berechnung der empirischen Prüfgrösse des t-Tests für abhängige Stichproben betrachtet, wird deutlich, dass hier nur eine Varianz in die Berechnung eingeht:

\(t_{\overline{x}_D}=\frac{\overline{x}_D}{\frac{\hat \sigma_D}{\sqrt n}}\)

Wir verwenden hier lediglich die Varianz \(\hat \sigma_D\) der Differenzen der Beobachtungspaare. Da bei diesem Test nicht mehrere Varianzen in die Berechnung eingehen, ist ein Test auf Varianzhomogenität nicht notwendig.

Aufgabe 11.3

Welchen Test würden Sie bei den folgenden Beispielen wählen?

1. Es werden 35 Zwillingspaare zufällig ausgewählt. Pro Paar wird jeweils eine:r der Zwillinge ausgewählt und mit einem Medikament behandelt. Danach wird untersucht, ob sich das Medikament auf die kognitive Leistung auswirkt und mit den Zwillingen verglichen, die kein Medikament erhalten haben.

abhängiger t-Testunabhängiger t-Testkeine der beiden

2. Es wird eine Stichprobe von 35 Zwillingspaare gezogen. Alle 70 Personen werden mit einem Medikament behandelt. Es wird untersucht, ob sich die kognitive Leistung durch das Medikament verbessert.

abhängiger t-Testunabhängiger t-Testkeine der beiden

3. An einer Studie nehmen 35 Zwillingspaare teil. Die älteren Zwillinge werden auf zwei Gruppen aufgeteilt, wobei die eine Hälfte ein Medikament erhält, die andere nicht. Im Anschluss wird untersucht, ob das Medikament bei den älteren Zwillingen die kognitive Leistung erhöht oder nicht.

abhängiger t-Testunabhängiger t-Testkeine der beiden

Aufgabe 11.4

Sie möchten untersuchen, inwiefern ein Präventionsprogramm zur Verkehrssicherheit in der Schule den sicheren Umgang der Kinder im Strassenverkehr verbessert. 18 Kinder werden zufällig ausgewählt. Neun Kinder erhalten den Kurs und neun Kinder sind in der Kontrollgruppe. Danach wird während einer Woche beobachtet, wie sicher sich die Kinder auf dem Schulweg bewegen.

Überprüfen Sie, ob das Präventionsprogramm das sichere Verhalten im Strassenverkehr verbessert (bzw. ob sich die Gruppen nach dem Programm signifikant auf dem 5%-Niveau unterscheiden).

\(H_0\): Nach dem Programm hat die Kursgruppe denselben oder einen kleineren Wert als die Kontrollgruppe.

\(H_1\): Nach dem Programm hat die Kursgruppe einen höheren Wert als die Kontrollgruppe.

	Gruppe “Programm”	Gruppe “Kontrolle”
	\(n=9\)	\(n=9\)
\(\overline{x}\)	25	19
\(\hat\sigma^2\)	80	100

1. Handelt es sich um abhängige oder unabhängige Stichproben? Welchen Test wählen Sie?

Lösung Aufgabe 11.4a

Unter den beschriebenen Bedingungen gehen wir davon aus, dass es sich um unabhängige Stichproben handelt. Wir entscheiden uns daher für einen t-Test für unabhängige Stichproben.

2. Berechnen Sie die empirische Prüfgrösse und entscheiden Sie, ob Sie die \(H_0\) ablehnen können oder nicht.

Lösung Aufgabe 11.4b

1. Zuerst wird die gemeinsame Innerhalb-Varianz berechnet.

\(\hat\sigma_{inn}^2=\frac{\hat\sigma^2_1 \cdot (n_1-1) +\hat\sigma^2_2 \cdot (n_2-1) }{n_1+n_2-2}=\frac{80 \cdot 8 + 100 \cdot 8}{16}=90\)

2. Daraus kann der Standardfehler der Differenz der Stichprobenmittelwerte berechnen werden.

\(\hat \sigma^2_{\overline{x}_1-\overline{x}_2}=\frac {\hat\sigma_{inn}^2}{n_1}+ \frac{\hat\sigma_{inn}^2}{n_2}=\frac{90+90}{9}=20\)

\(\hat \sigma_{\overline{x}_1-\overline{x}_2}=\sqrt{20}=4.47\)

3. Nun kann die empirische Prüfgrösse berechnen und mit dem kritischen Wert verglichen werden.

\(t_{\overline{x}_1-\overline{x}_2}=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\hat\sigma_{\overline{x}_1-\overline{x}_2}}=\frac{25-19}{4.47}=1.34\)

\(df=n_1+n_2-2=9+9-2=16\)

\(t_{(95\%;16)}=1.7459\)

\(H_0\) wird beibehalten, da die empirische Prüfgrösse nicht grösser als der kritische Wert ist. Das Präventionsprogramm hat keinen Effekt bzw. die Gruppen unterscheiden sich nicht signifikant.

3. Berechnen Sie die standardisierte Effektgrösse nach Cohen.

Lösung Aufgabe 11.4c

\(d'=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\hat\sigma_{inn}}=\frac{25-19}{\sqrt{90}}=0.63\)

oder

\(d'=t \cdot \sqrt \frac{n_1+n_2}{n_1 \cdot n_2}=1.34 \cdot \sqrt \frac{9+9}{9 \cdot 9}=1.34 \cdot \sqrt \frac{18}{81}=0.63\)

Nach Cohen (1988) handelt es sich hier um einen mittleren Effekt. Durch die kleine Stichprobe wird der Unterschied jedoch nicht signifikant, wie wir in Aufgabe 11.4b gesehen haben.

Aufgabe 11.5

Eine Marketingfirma hat folgende Daten erhoben und möchte wissen, ob sich die beiden Messungen unterscheiden.

Person ID	Pretest	Posttest	d
1	10	9	-1
2	12	13	1
3	11	11	0
4	12	13	1
5	8	10	2
6	8	11	3

1. Was können Sie hier herauslesen? Welcher t-Test muss zur Auswertung eingesetzt werden?

Lösung Aufgabe 11.5a

Wir gehen davon aus, dass zweimal die selben Personen getestet wurden. Daher verwenden wir einen t-Test für abhängige Stichproben.

2. Was bedeutet d und wie wird es berechnet?

Lösung Aufgabe 11.5b

d stellt die Differenz der Messwertpaare dar und wird berechnet mit \(d=x_{post}-x_{pre}\).

3. Untersuchen Sie, ob sich die Stichproben auf dem \(\alpha=0.05\)-Niveau unterscheiden. Berechnen Sie dazu den Mittelwert und die geschätzte Standardabweichung der Differenzen der Messwertpaare.

Lösung Aufgabe 11.5c

\(\overline{x}_D=\frac{(-1)+1+0+1+2+3}{6}=1\)

\(\hat \sigma_D=\sqrt\frac{(-1-1)^2+(1-1)^2+(0-1)^2+(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2}{6-1}=\sqrt{\frac{10}{5}}=\sqrt 2=1.414\)

Mit der Formel für \(\hat \sigma_D\) wird auch für die Schätzung der Populationsvarianz korrigiert (siehe Nenner \(n-1\)).

4. Berechnen Sie nun den Standardfehler der Mittelwertsdifferenz. Berechnen Sie die empirische Prüfgrösse t sowie den kritischen t-Wert, ab dem die Nullhypothese verworfen werden kann. Wie lautet Ihre Entscheidung?

Lösung Aufgabe 11.5d

Standardfehler:

\(\hat \sigma_{\overline{x}_D}=\frac{\hat \sigma_{D}}{\sqrt{n}}=\frac{1.414}{\sqrt 6}=0.577\)

Empirische Prüfgrösse:

\(t_{\overline{x}_D}=\frac{\overline{x}_D}{\hat\sigma_{\overline{x}_D}}=\frac{1}{0.577}=1.73\)

Kritischer Wert (zweiseitig):

\(df=n-1=5\)

\(t_{(97.5\%;5)}=2.5706\)

\(H_0\) wird beibehalten, da die empirische Prüfgrösse nicht grösser als der kritische Wert ist. Die Messungen verändern sich nicht signifikant vom Pretest (vorher) zum Posttest (nachher).

5. Konstruieren Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für Aufgabe 11.5. Wir verwenden hier somit ein 95%-Konfidenzintervall.

Lösung Aufgabe 11.5e

\(\overline{x}_D=1\)

\(t_{(0.975;5)}=\pm 2.5706\)

\(\hat \sigma_{\overline{x}_D}=0.577\)

\(95{\%}\)-KI: \(\overline{x}_D \pm t_{(0.975;5)}\cdot \hat\sigma_{\overline{x}_D}\)

\(95{\%}\)-KI: \(1 \pm 2.5706 \cdot 0.577=[-0.48;2.48]\)

Wir kommen hier zum gleichen Schluss, d.h. die \(H_0\) kann nicht abgelehnt werden, da der Wert 0 innerhalb des Konfidenzintervalls liegt.

Aufgabe 11.6

Führen Sie den t-Test für abhängige Stichproben aus Aufgabe 11.5 mit Hilfe von R (WebR) durch. Erstellen Sie dazu zwei Variablen mit den Skalenwerten und berechnen Sie dann den Paired-t-Test.

Zur Erinnerung: Sie können mehrere Werte als Variable speichern indem Sie die Funktion c() nutzen. Die Variable data.pre <- c(18, 17, 19) enthält die Werte 18, 17 und 19.

Konsole

Tipp

Fügen Sie in die Klammer die Werte aus Aufgabe 11.5 ein und trennen Sie die Werte jeweils mit einem Komma. Erstellen Sie für den Posttest eine weitere Variable.

Drücken Sie Run Code.

Lösung

data.pre <- c(10, 12, 11, 12, 8, 8)
data.post <- c(9, 13, 11, 13, 10, 11)

Führen Sie nun einen Paired t-Test mit der Funktion t.test() durch. Vergleichen Sie den Output von R mit Ihren Berechnungen von Aufgabe 11.5.

Konsole

Tipp

Fügen Sie bei POST und PRE die Variablen ein, die Sie vorher erstellt haben.

Drücken Sie Run Code.

Lösung

t_test_result <- t.test(data.post, data.pre, mu = 0, paired = TRUE, conf.level = 0.95)
t_test_result

Lösung Aufgabe 11.6

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  data.post and data.pre
## t = 1.7321, df = 5, p-value = 0.1438
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.4841261  2.4841261
## sample estimates:
## mean difference 
##               1

Somit haben Sie die Übungen dieser Woche erfolgreich absolviert!