Übung 10

Grundlagen der Inferenzstatistik 3
Authors
Affiliation

Mirjam Senn

Fakultät für Verhaltenswissenschaften und Psychologie, Universität Luzern

Gerda Wyssen

Fakultät für Verhaltenswissenschaften und Psychologie, Universität Luzern

Published

November 18, 2024

Aufgaben

Hinweise:

  • Die Formelsammlung zu dieser Übung finden Sie auf OLAT.
  • Die Tabelle für die Standardnormalverteilung finden Sie hier.
  • Die Tabelle für die t-Verteilung finden Sie hier.


Aufgabe 10.1

In welchem Zusammenhang stehen ein Signifkanztest und ein Konfidenzintervall für den Mittelwert?

Das Prinzip des Signifikanztests ist eng mit dem Konzept des Konfidenzintervalls verwandt: Die Nullhypothese \(H_0:\mu=\mu_0\) mit einem zweiseitigen Test auf einem Signifikanzniveau von \(\alpha=5{\%}\) zu verwerfen, ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass das zweiseitige 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert den Wert \(\mu_0\) nicht beinhaltet.


Aufgabe 10.2

Wie verändert sich das Konfidenzintervall des Mittelwertes…

  1. bei Vergrösserung des Konfidenzkoeffizienten?
  2. bei Vergrösserung des Stichprobenumfangs?

  1. Mit grösserem Konfidenzkoeffizenten (z.B. 99% statt 95%) vergrössert sich das Intervall.

  2. Mit steigendem \(n\) verringert sich der Standardfehler und mit ihm das Intervall.


Aufgabe 10.3

Beim t-Test wird bei konstantem Effekt und konstanter Stichprobengrösse …

  1. \(\alpha\) umso grösser, je kleiner \(\beta\) ist.

  1. die Teststärke umso grösser, je kleiner \(\beta\) ist.

  1. \(\beta\) umso grösser, je grösser \(\alpha\) ist.

  1. \(\alpha\) umso kleiner, je kleiner die Teststärke ist.

  1. \(\beta\) umso kleiner, je grösser die Wahrscheinlichkeit ist, einen Effekt zu finden, falls dieser tatsächlich existiert.


Aufgabe 10.4

Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall eines Stichprobenmittelwerts von \(\overline{x}=90\) für eine Stichprobengrösse von \(n=22\) für ein normalverteiltes Merkmal mit geschätzter Stichprobenstandardabweichung von \(\hat\sigma_x=5\).

\(95{\%}\)-KI: \(\overline{x}\pm t_{(0.975;21)}\cdot \hat\sigma_\overline{x}\)

\(\overline{x}=90\)

\(t_{(0.975;21)}=\pm 2.0796\)

\(\hat\sigma_\overline{x}=\frac{\hat\sigma_x}{\sqrt n}=\frac{5}{\sqrt {22}}=1.066\)

\(95{\%}\)-KI: \([90-2.0796 \cdot 1.066;90+2.0796 \cdot 1.066]=[87.783;92.217]\)


Aufgabe 10.5

Berechnen Sie das 99%-Konfidenzintervall eines Stichprobenmittelwerts von \(\overline{x}=90\) für eine Stichprobengrösse von \(n=22\) für ein normalverteiltes Merkmal mit geschätzter Stichprobenstandardabweichung von \(\hat\sigma_x=5\).

\(99{\%}\)-KI: \(\overline{x}\pm t_{(0.995;21)}\cdot \hat\sigma_\overline{x}\)

\(\overline{x}=90\)

\(t_{(0.995;21)}=\pm 2.8314\)

\(\hat\sigma_\overline{x}=\frac{\hat\sigma_x}{\sqrt n}=\frac{5}{\sqrt {22}}=1.066\)

\(99{\%}\)-KI: \([90-2.8314 \cdot 1.066;90+2.8314 \cdot 1.066]=[86.982;93.018]\)


Aufgabe 10.6

Sie möchten untersuchen, wie sich ein Achtsamkeitstraining auf das Wohlbefinden auswirkt. Das Achtsamkeitstraining könnte einerseits das Wohlbefinden verbessern, aber auch verschlechtern. Daher formulieren Sie eine ungerichtete Hypothese.

\(H_0: \mu=25; H_1: \mu \neq 25\)

Eine Skala, die das Wohlbefinden misst sei normalverteilt mit \(\mu_0=25\) und \(\sigma_x=6\). Sie haben mit Hilfe eines Fragebogens \(n=9\) Personen getestet, nachdem Sie ein Achtsamkeitstraining mit den Personen durchgeführt haben.

Die Skalenwerte der neun Personen sind: 19, 18, 20, 22, 26, 30, 32, 34 und 33

  1. Testen Sie auf dem 5%-Signifkanzniveau (ungerichtet), ob der Mittelwert der Stichprobe signifikant vom Populationsmittelwert abweicht.

  1. Ermitteln Sie den Standardfehler.

  2. Berechnen Sie die empirische Prüfgrösse. Überlegen Sie, ob Sie von einer \(z\)-Verteilung oder einer \(t\)-Verteilung ausgehen können.

  3. Legen Sie die kritischen Werte anhand des Signifikanzniveaus fest.

  4. Vergleichen Sie die empirische Prüfgrösse mit den kritischen Werten.

  1. Zuerst ermitteln wir den Standardfehler.

\(\sigma_\overline{x}=\frac{\sigma_x}{\sqrt n}=\frac{6}{\sqrt 9}=2\)

  1. Um die empirische Prüfgrösse \(z\) zu ermitteln, benötigen wir den Mittelwert der Stichprobe.

\(\overline{x}=\frac{19+18+20+22+26+30+32+34+33}{9}=\frac{234}{9}=26\)

\(z_\overline{x}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_\overline{x}}=\frac{26-25}{2}=0.5\)

  1. Nun bestimmen wir die \(z\)-Werte für den oberen und unteren kritischen Wert. Hier benötigen wir beide, da wir eine ungerichtete Hypothese prüfen.

\(z_{97.5\%}=\pm 1.96\)

  1. Nun können wir die Werte vergleichen. Unsere Prüfgrösse \(z=0.5\) liegt deutlich unter (bzw. über) den kritischen Werten (also dazwischen), womit wir die \(H_0\) nicht ablehnen können.


  1. Nehmen wir nun an, dass die Varianz in der Population unbekannt ist. Testen Sie nun dieselbe Hypothese mit dem passenden Test.

  1. Ermitteln Sie die empirische Varianz.

  2. Schätzen Sie nun die Populationsvarianz und bestimmen Sie den Standardfehler des Mittelwerts.

  3. Berechnen Sie die empirische Prüfgrösse. Überlegen Sie, ob Sie von einer \(z\)-Verteilung oder einer \(t\)-Verteilung ausgehen können.

  4. Legen Sie die kritischen Werte anhand des Signifikanzniveaus fest.

  5. Vergleichen Sie die empirische Prüfgrösse mit den kritischen Werten.

  1. Wir berechnen zuerst die empirische Varianz, da wir die Populationsvarianz nicht kennen.

\(s^2_x=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})}{n}=\frac{7^2+8^2+6^2+4^2+0+4^2+6^2+8^2+7^2}{9}=36.667\)

  1. Nun schätzen wir die Populationsvarianz und den Standardfehler des Mittelwerts.

\(\hat\sigma^2_x=s^2_x \cdot \frac{n}{n-1}=36.667 \cdot \frac{9}{8}=41.250\)

oder direkt:

\(\hat\sigma^2_x=\sqrt \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=41.250\)

Daraus können wir den Standardfehler berechnen:

\(\hat \sigma_\overline{x}=\sqrt\frac{\hat\sigma^2_x}{n}=\sqrt \frac{41.250}{9}=2.141\)

  1. Mit dem Standardfehler kann nun die empirische Prüfgrösse \(t\) bestimmt werden.

\(t_\overline{x}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\hat \sigma_\overline{x}}=\frac{26-25}{2.141}=0.467\)

  1. Nun bestimmen wir die \(t\)-Werte für den oberen und unteren kritischen Wert. Wichtig ist, dass hier die Freiheitsgrade berücksichtigt werden (\(df=n-1\)).

\(t_{(0.975;8)}=\pm 2.306\)

  1. Nun können wir die Werte vergleichen. Unsere Prüfgrösse \(t=0.467\) liegt deutlich unter (bzw. über) den kritischen Werten (also dazwischen), womit wir die \(H_0\) nicht ablehnen können.


  1. Konstruieren Sie für Aufgabe 10.6b ein 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert der Stichprobe.

\(95{\%}\)-KI: \(\overline{x}\pm t_{(0.975;8)}\cdot \hat\sigma_\overline{x}\)

\(95{\%}\)-KI: \([26-2.306 \cdot 2.141;26+2.306 \cdot 2.141]=[21.063;30.937]\)

In diesem Bereich können wir mit 95% Sicherheit das Populationsmittel der Skala «Wohlbefinden» vermuten. Alternativ (und technisch korrekter) kann man sagen, dass bei einer grossen Anzahl von Wiederholungen dieser Untersuchungen etwa 95% der berechneten Konfidenzintervalle \(\mu\) enthalten. Wir sehen, dass 26 in diesem Konfidenzintervall enthalten (!) ist, womit wir die \(H_0\) nicht ablehnen können.


Aufgabe 10.7

Führen Sie die Berechnung von 10.6b/10.6c nun mit Hilfe von R (WebR) durch. Erstellen Sie dazu eine Variable mit den Skalenwerten, eine Variable mit dem Mittelwert der Population und berechnen Sie dann den One-Sample-t-Test.

Zur Erinnerung: Sie können mehrere Werte als Variable speichern indem Sie die Funktion c() nutzen. Die Variable data <- c(18, 17, 19) enthält die Werte 18, 17 und 19. Einen einzelnen Wert können Sie direkt in eine Variable schreiben m <- 100.

Fügen Sie in die Klammer die Werte aus Aufgabe 10.6 ein und trennen Sie die Werte jeweils mit einem Komma.

Drücken Sie Run Code.

data <- c(19, 18, 20, 22, 26, 30, 32, 34, 33)
mu_0 <- 25


Führen Sie nun einen One-Sample-t-Test mit der Funktion t.test() durch. Vergleichen Sie den Output von R mit Ihren Berechnungen von Aufgabe 10.6.

Fügen Sie in die Klammer die Variable ein, die Sie vorher erstellt haben und für mu= die Variable mit dem Populationsmittelwert. Legen Sie auch den Konfidenzkoeffizenten fest.

Drücken Sie Run Code.

t_test_result <- t.test(data, mu = mu_0, conf.level = 0.95)
t_test_result

    One Sample t-test

data:  data
t = 0.4671, df = 8, p-value = 0.6529
alternative hypothesis: true mean is not equal to 25
95 percent confidence interval:
 21.06314 30.93686
sample estimates:
mean of x 
       26 
## One Sample t-test

## data:  data
## t = 0.4671, df = 8, p-value = 0.6529
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 25
## 95 percent confidence interval:
##  21.06314 30.93686
## sample estimates:
## mean of x 
##        26


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Citation

BibTeX citation:
@online{senn2024,
  author = {Senn, Mirjam and Wyssen, Gerda},
  title = {Übung 10},
  date = {2024-11-18},
  url = {https://psylu.github.io/statistik1-hs24/pages/exercises/exercise_10.html},
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For attribution, please cite this work as:
Senn, Mirjam, and Gerda Wyssen. 2024. “Übung 10.” November 18, 2024. https://psylu.github.io/statistik1-hs24/pages/exercises/exercise_10.html.