Übung 6
Aufgaben
Hinweise:
- Die Formelsammlung zu dieser Übung finden Sie auf OLAT. Benützen Sie sie, wann immer Sie möchten.
- Für die Berechnungen benötigen Sie einen einfachen Taschenrechner (auch gut auf dem Laptop möglich) mit dem Sie beispielsweise \(0.8^9\) ausrechnen können.
- Die Tabelle zur Standardnormalverteilung finden Sie im Lehrbuch und unter Onlinematerialen des Verlags hier.
- Für die Aufgaben und an der Prüfung stehen Ihnen die nötigen Ausschnitte der Tabellen zur Verfügung.
Aufgabe 6.1
Wie unterscheiden sich diskrete und stetige Zufallsvariablen und deren Verteilungen?
Diskrete Zufallsvariablen haben endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte. Stetige Zufallsvariablen weisen überabzählbar unendlich viele Werte auf. Bei stetigen Zufallsvariablen ist die exakte Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wertes gleich 0.
Aufgabe 6.2
- Wie wird eine Normalverteilung beschrieben?
\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
- Welcher Teil dieser Beschreibung entspricht dem Median und dem Modalwert der Normalverteilung?
\(\mu\)
Bei der Normalverteilung fallen also alle drei Lagemasse, die wir kennengelernt haben, zusammen – genau wie bei allen anderen unimodalen symmetrischen Verteilungen.
- Wie kann eine Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung transformiert werden?
Jede Normalverteilung kann mittels \(z\)-Transformation in eine Standardnormalverteilung überführt werden.
- Wie lauten der Erwartungswert und die Varianz der Standardnormalverteilung?
Der Erwartungswert der Standardnormalverteilung lautet \(\mu=0\) und die Varianz \(\sigma^2=1\).
Aufgabe 6.3
Was ist der Unterschied zwischen …
- einer Wahrscheinlichkeits- und einer Dichtefunktion?
Die Wahrscheinlichkeitfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable z. B. in Form eines Säulendiagramms. Hingegen beschreibt die Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariable, mit der \(x\) innerhalb eines Intervalls mit der Untergrenze \(x_u\) und der Obergrenze \(x_o\) liegt.
- einer Dichte- und einer Verteilungsfunktion?
Die Dichtefunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der \(x\) innerhalb eines Intervalls mit der Untergrenze \(x_u\) und der Obergrenze \(x_o\) liegt. Die Verteilungsfunktion beschreibt die (kumulierte) Wahrscheinlichkeit mit der eine beliebige Person höchstens einen Wert \(x\) aufweist, also die Wahrscheinlichkeit \(P\left(X\le x_o\right)\).
Aufgabe 6.4
Eine Zufallsvariable ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von \(\mu=50\) und einer Varianz \(\sigma^2=25\). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Werte mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung.
Benützen Sie die Formel der \(z\)-Transformation, um die Werte der Normalverteilung in die Standardnormalverteilung umzurechnen. Achten Sie darauf, dass Sie \(\sigma\) und nicht \(\sigma^2\) verwenden!
Lesen Sie anschliessend die entsprechenden Werte in der Tabelle ab. Achten Sie jeweils darauf, ob Sie das Intervall oberhalb oder unterhalb benötigen.
- \(P\left(x\leq50\right)\)
\(P\left(z\leq0\right)=0.5\)
- \(P\left(x\gt64\right)\)
\(P\left(z\gt2.8\right)=1-P\left(z\le2.8\right)=1-0.9974=0.0026\)
- \(P\left(x\gt40\right)\)
\(P\left(z>-2\right)=P\left(z\leq2\right)=0.9772\)
- \(P\left(x\leq59.8\right)\)
\(P\left(z\leq1.96\right)=0.975\)
- \(P\left(40\lt x\leq55\right)\)
\(z_o=P\left(z\leq1\right)=0.8413\)
\(z_u=P\left(z\leq-2\right)=1-P\left(z\leq2\right)=1-0.9772=0.0228\)
Da wir \(P\left(z\leq-2\right)\) nicht direkt ablesen können, bestimmen wir \(P\left(z\leq2\right)\) und nehmen dann die Gegenwahrscheinlichkeit.
\(z_o-z_u=0.8413-0.0228=0.8185\)
(Achtung: In der vorherigen Version wurde hier fälschlicherweise \(0.9972\) statt \(0.9772\) verwendet.)
Aufgabe 6.5
Eine Zufallsvariable ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von \(\mu=120\) und einer Varianz \(\sigma^2=400\). Bestimmen Sie jeweils denjenigen Wert, unter dem die genannten Prozente der Verteilung liegen.
- \(z_{68\%}\)
\(z_{68\%}=0.47\)
Die Wahrscheinlichkeit von 68% wird mit dem Wert \(P=0.6808\) überschritten. Dadurch können wir den \(z\)-Wert für \(0.6808\) aus der Tabelle ablesen und im zweiten Schritt in die vorgegebene Normalverteilung transformieren.
\(x_{68\%}=\mu+z\cdot \sigma=120+0.47⋅20=129.4\)
\(x_{68\%}=129.4\)
- \(z_{95\%}\)
\(z_{95\%}=1.65\)
\(x_{95\%}=\mu+z\cdot \sigma=120+1.65⋅20=153\)
\(x_{95\%}=153\)
- \(z_{5\%}\)
Da 5% nicht ablesbar ist, lesen wir den entsprechenden \(z\)-Wert bei 95% ab. Dieser wird bei \(P=0.9505\) überschritten und ergibt einen \(z\)-Wert von \(+1.65\). Für 5% statt 95% haben wir also einen \(z\)-Wert von \(-1.65\), da die Verteilung symmetrisch ist.
\(z_{5\%}=-1.65\)
\(x_{5\%}=\mu-z\cdot \sigma=120-1.65⋅20=87\)
\(x_{5\%}=87\)
Diese Woche gibt es etwas zu feiern! Sie haben bereits die Hälfte der Übungen geschafft.
Reuse
Citation
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author = {Senn, Mirjam and Wyssen, Gerda},
title = {Übung 6},
date = {2024-10-21},
url = {https://psylu.github.io/statistik1-hs24/pages/exercises/exercise_06.html},
langid = {en}
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